Обратная теорема синусов. Теорема косинусов, синусов: формулировка, следствия и примеры. Применение теоремы синусов
где a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} - стороны треугольника, α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } - соответственно противолежащие им углы, а R {\displaystyle R} - радиус окружности, описанной около треугольника.
Доказательства
Доказательство обычной теоремы синусов
Воспользуемся только определением высоты h b {\displaystyle h_{b}} треугольника, опущенной на сторону b , и синуса для двух углов:
h b = a sin γ = c sin α {\displaystyle h_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha } . Следовательно, a sin α = c sin γ {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}} , что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов.Доказательство расширенной теоремы синусов
Доказательство
Достаточно доказать, что
a sin α = 2 R . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}Проведем диаметр | B G | {\displaystyle |BG|} для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол G C B {\displaystyle GCB} прямой, а угол C G B {\displaystyle CGB} равен либо α {\displaystyle \alpha } , если точки A {\displaystyle A} и G {\displaystyle G} лежат по одну сторону от прямой B C {\displaystyle BC} , либо π − α {\displaystyle \pi -\alpha } в противном случае. Поскольку sin (π − α) = sin α {\displaystyle \sin(\pi -\alpha)=\sin \alpha } , в обоих случаях получаем
a = 2 R sin α {\displaystyle a=2R\sin \alpha } .Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}Вариации и обобщения
В треугольнике против бо́льшего угла лежит большая сторона, против бо́льшей стороны лежит больший угол.
В симплексе V n = n − 1 n V n − 1 i V n − 1 j V n − 2 i , j s i n (A i , j) {\displaystyle V_{n}={\frac {n-1}{n}}{\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}{sin({A_{i,j}})}}
Где A i , j {\displaystyle A_{i,j}} - угол между гранями и ; V n − 2 i , j {\displaystyle V_{n-2}^{i,j}} - общая грань V n − 1 i {\displaystyle V_{n-1}^{i}} и V n − 1 j {\displaystyle V_{n-1}^{j}} ; V n {\displaystyle V_{n}} - объем симплекса.
Первая часть теоремы
: стороны произвольного треугольника пропорциональный синусам противоположных углов, то есть: 
Вторая часть теоремы : каждая дробь равна диаметру окружности, описанной около данного треугольника, то есть: .
Комментарий репетитора по математике : использование второй части теоремы синусов закладывается чуть ли не в каждой второй конкурсной задаче на окружность. Почему? Дело в том, что равенство позволяет находить радиус окружности имея в наличие только два элемента треугольника. Это очень часто используют составители сильных задач, которые специально так подбирают условие, чтобы никакие другие элементы треугольника (и всего рисунка) не находились бы вообше! «Картинка» при этом будет плавующей. Это обстоятельство сильно усложняет работу на экзамене, ибо не дает возможность действовать в обход заложенному свойству.
Доказательство теоремы синусов:
по учебнику Атанасяна
Докажем, что для любого треугольника со сторонами a, b, c и противолежащими углами A, B и С выполняется равенство: .
Проведем высоту BH из вершины В. Возможны два случая:
1) Точка H лежит на стороне AC (это возможно когда и — острые).
По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике ABH запишем
Аналогично в треугольнике CBH имеем . Приравнивая выражения для BH друг к другу получим:
2)
Пусть H лежит на продолжении стороны AC (например слева от А). Это произойдет, если – тупой. Аналогично по определению синуса острого угла А в треугольнике ABH запишем равенство , но так как синусы смежных углов равны, то заменив в этом равенстве на , получим как и в первом случае. Поэтому независимо от величин углов А и С равенство верное.
После деления обеих его частей на получим 
. Аналогично доказывается равенство второй пары дробей 
Доказательство теоремы синусов по учебнику Погорелова:
Применим формулу площади треугольника для двух углов A и C:
После приравнивания правых частей и сокращения на получим тоже самое равенство , как и в доказательстве первым способом. Из него тем же путем получаем равенство дробей.
Доказательство второй части теоремы синусов:
Опишем около данного треугольника окружность и через В проведем ее диаметр BD. Так как углы D и C опираются на одну дугу, то они равны (следствие из теоремы о вписанных углах). Тогда 
. Применим в треугольнике ABD определение синуса угла D: Что и требовалось доказать.
Задачи на вторую часть теоремы синусов:
1) В окружность радиуса 15 вписана трапеция. Длины диагонали и высоты трапеции соответственно равны 20 и 6. Найти боковую сторону.
2) Радиус окружность, описанной около трапеции, равен 25, а косинус ее тупого угла равен -0,28 (минус!!!). Диагональ трапеции образует с основанием угол . Найти высоту трапеции.
3) В окружность радиуса 10 вписана трапеция. Длины диагонали и средней линии трапеции соответственно равны 15 и 12. Найти длину боковой стороны трапеции.
4) Олимпиада в Финансовой академии 2009г. Хорды окружности пересекаются в точке Q. Известно, что а радиус окружности равен 4см. Найдите длину хорды PN. Олимпиада в Финансовой академии 2009г.
5) В треугольнике PST . Вокруг точки пересечения его биссектрис и вершин P и T описана окружность с радиусом 8см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника PST (авторская задача).
Детально разобрать теорему синусов и получить необходимую практику ее использования в задачах вам всегда поможет репетитор по математике . Ее плановое школьное изучение происходит в курсе геометрии 9 класса в теме решение треугольников (по всем программам). Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике для сдачи экзамена не менее чем на 70 баллов — придется тренироваться в решении крепких планиметрических задач с номеров С4. В них теорему синусов часто применяют к вписанным треугольникам учитывая соотношение . Помните об этом!
С уважением, Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике
Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника - противолежащие им углы.
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.
Обычная теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.
Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:
где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности , которая описана вокруг треугольника.
Доказательство теоремы синусов.
Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC .
Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R . Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A .
Проведем диаметр |BG | для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC , или − в противоположном варианте. Так как sin (−)=sin , в обоих случаях получаем.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ СИНУСОВ
ЗАДАЧА 1
Рассмотрим в разделе планиметрия различные типы задач, суть решения которых сводится к применению теоремы синусов. Обычно в начале решения подобных задач выполняются действия преобразовательного или упрощающего характера, с целью привести имеющиеся данные к виду, позволяющему применить непосредственно теорему синусов как основной инструмент решения задачи. Примеры соответствующих решений необходимы для практического тренинга с целью качественной подготовки к единому государственному экзамену. Применение теоремы синусов может быть как основным действием при решении задачи, так и одним из необходимых промежуточных действий при решении более сложных геометрических задач. В данной задаче известны величины двух углов треугольника и одна из сторон. Необходимо найти сторону треугольника. Запомните ход решения! Успехов Вам!
В треугольнике АВС . Найдите АС.
Решение:
1. Сумма углов в треугольнике равна 180 о.
2. По формуле приведения вычислим синус угла 120 о:
3. Найдем АС по теореме синусов :
Построим произвольный треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.
Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R. Пусть это будет 2R = a / sin α, то есть если взять по чертежу 2R = BC / sin A.
Проведем диаметр BD для описанной окружности. Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность).
Поскольку, углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то угол CDB либо равен углу CAB (если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC), либо равен π - CAB (в противном случае).
Обратимся к свойствам тригонометрических функций. Поскольку sin(π − α) = sin α, то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату.
Вычислим значение 2R = a / sin α, по чертежу 2R = BC / sin A. Для этого заменим sin A на соотношение соответствующих сторон прямоугольного треугольника.
2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB
А, поскольку, DB строился как диаметр окружности, то равенство выполняется.
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем: 
Теорема синусов доказана.
Теорема синусов
Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение .
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
где R - радиус описанной окружности
Теорию - формулировку и доказательство теоремы подробно см. в главе "Теорема синусов" .
Задача
В треугольнике XYZ угол Х=30 угол Z=15. Перпендикуляр YQ к ZY делит сторону ХZ на части XQ и QZ.Найти XY, если QZ=1.5м
Решение
.
Высота образовала два прямоугольных треугольника XYQ и ZYQ.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)
QZY = 15 градусов, Соответственно, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75
Поскольку длина высоты треугольника теперь известна, найдем XY по той же теореме синусов.
QY / sin(30) = XY / sin(90)
Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:
- синус 30 градусов равен sin(30) = 1 / 2
- синус 90 градусов равен sin(90) = 1
QY = XY sin (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.8 м
Ответ : 0,8 м или 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)
Теорема синусов (часть 2)
Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме .
Теорию подробно см. в главе "Теорема синусов" .
Задача
Сторона АВ треугольника ABC равна 16см. Угол А равен 30 градусам. Угол В равен 105 градусам. Вычислите длину стороны ВС. 
Решение
.
Согласно теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ
Таким образом
BC / sin α = AB / sin γ
Величину угла С найдем, исходя из того, сумма углов треугольника равна 180 градусам.
С = 180 - 30 -105 = 45 градусов.
Откуда:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°
BC = 16 sin 30° / sin 45°
Обратившись к таблице тригонометрических функций, находим:
BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 см
Ответ : 16 / √2
Задача
.
В треугольнике ABC угол А = α, угол С = β, ВС = 7см, ВН - высота треугольника.
Найти АН 
