И распределяет равномерную нагрузку на. Приведение сосредоточенной нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной. Графическое определение опорных реакций

Поверхностные и объёмные силы представляют собой нагрузку, распределённую по некоторой поверхности или объёму. Такая нагрузка задаётся интенсивностью , которая представляет собой силу, приходящуюся на единицу некоторого объёма, или некоторой площади, или некоторой длины.

Особое место при решении ряда практически интересных задач занимает случай плоской распределённой нагрузки, приложенной по нормали к некоторой балке. Если вдоль балки направить ось , то интенсивность будет функцией координаты и измеряется в Н/м. Интенсивность представляет собой силу, приходящуюся на единицу длины.

Плоская фигура, ограниченная балкой и графиком интенсивности нагрузки, называется эпюрой распределённой нагрузки (Рис. 1.28). Если по характеру решаемой задачи можно не учитывать деформации, т.е. можно считать тело абсолютно твёрдым, то распределённую нагрузку можно (и нужно) заменить равнодействующей.

Разобьём балку на отрезков длиной
, на каждом из которых будем считать интенсивность постоянной и равной
, где –координата отрезка
. При этом кривая интенсивности заменяется ломаной линией, а нагрузка, приходящаяся на отрезок
, заменяется сосредоточенной силой
, приложенной в точке (Рис. 1.29). Полученная система параллельных сил имеет равнодействующую, равную сумме сил, действующих на каждый из отрезков, приложенную в центре параллельных сил.

Понятно, что такое представление тем точнее описывает реальную ситуацию, чем меньше отрезок
, т.е. чем больше число отрезков . Точный результат получаем, переходя к пределу при длине отрезка
, стремящейся к нулю. Предел, получаемый в результате описанной процедуры, представляет собой интеграл. Таким образом, для модуля равнодействующей получаем:

Для определения координаты точки приложения равнодействующей используем теорему Вариньона:

если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра (любой оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно этого центра (этой оси)

Записывая эту теорему для системы сил
в проекциях на ось и переходя к пределу при длине отрезков, стремящейся к нулю, получаем:

Очевидно, модуль равнодействующей численно равен площади эпюры распределённой нагрузки, а точка её приложения совпадает с центром тяжести однородной пластины, имеющей форму эпюры распределённой нагрузки.

Отметим два часто встречающихся случая.

,
(Рис. 1.30). Модуль равнодействующей и координата её точки приложения определяются по формулам:

В инженерной практике такая нагрузка встречается довольно часто. Равномерно распределённой в большинстве случаев можно считать весовую и ветровую нагрузку.

(Рис. 1.31). В этом случае:

В частности, давление воды на вертикальную стенку прямо пропорционально глубине .

Пример 1.5

Определить реакции опор ибалки, находящейся под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распределённой нагрузки. Дано:

Найдём равнодействующую распределённой нагрузки. Модуль равнодействующей равен

плечо силы относительно точкиравно
Рассмотрим равновесие балки. Силовая схема представлена на Рис. 1.33.

Пример 1.6

Определить реакцию заделки консольной балки, находящейся под действием сосредоточенной силы, пары сил и распределённой нагрузки (Рис. 1.34).

Заменим распределённую нагрузку тремя сосредоточенными силами. Для этого разобъём эпюру распределённой нагрузки на два треугольника и прямоугольник. Находим

Силовая схема представлена на Рис. 1.35.

Вычислим плечи равнодействующих относительно оси

Условия равновесия в рассматриваемом случае имеют вид:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Что называется интенсивностью распределённой нагрузки?

2. Как вычислить модуль равнодействующей распределённой нагрузки?

3. Как вычислить координату точки приложения равнодействующей распределённой

нагрузки?

4. Чему равен модуль и какова координата точки приложения равномерно распределённой нагрузки?

5. Чему равен модуль и какова координата точки приложения линейно распределённой нагрузки?

Из сборника задач И.В.Мещерского: 4.28; 4.29; 4.30; 4.33; 4.34.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-2; СР-3.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 4-5

В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону. Рассмотрим некоторые простейшие примеры распределенных сил, лежащих в одной плоскости.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т. е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры

1) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис. 69, а). Для такой системы сил интенсивность q имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей

По модулю,

Приложена сила Q в середине отрезка АВ.

2) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 69, б). Примером такой нагрузки могут служить силы давления воды на плотину, имеющие наибольшее значение у дна и падающие до нуля у поверхности воды. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения Равнодействующая Q таких сил определяется аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на однородную треугольную пластину ABC. Так как вес однородной пластины пропорционален ее площади, то, по модулю,

Приложена сила Q на расстоянии от стороны ВС треугольника ABC (см. § 35, п. 2).

3) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по произвольному закону (рис. 69, в). Равнодействующая Q таких сил, по аналогии с силой тяжести, по модулю равна площади фигуры ABDE, измеренной в соответствующем масштабе, и проходит через центр тяжести этой площади (вопрос об определении центров тяжести площадей будет рассмотрен в § 33).

4) Силы, равномерно распределенные по дуге окружности (рис. 70). Примером таких сил могут служить силы гидростатического давления на боковые стенки цилиндрического сосуда.

Пусть радиус дуги равен , где - ось симметрии, вдоль которой направим ось Действующая на дугу система сходящихся сил имеет равнодействующую Q, направленную в силу симметрии вдоль оси при этом численно

Для определения величины Q выделим на дуге элемент, положение которого определяется углом а длина Действующая на этот элемент сила численно равна а проекция этой силы на ось будет Тогда

Но из рис. 70 видно, что Следовательно, так как то

где - длина хорды, стягивающей дугу АВ; q - интенсивность.

Задача 27. На консольную балку А В, размеры которой указаны на чертеже (рис. 71), действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Пренебрегая весом балки и считая, что силы давления на заделанный конец - определены по линейному закону, определить значения наибольших интенсивностей этих сил, если

Решение. Заменяем распределенные силы их равнодействующими Q, R и R, где согласно формулам (35) и (36)

и составляем условия равновесия (33) для действующих на балку параллельны сил

Подставляя сюда вместо Q, R я R их значения и решая полученные уравнения, найдем окончательно

Например, при получим а при

Задача 28. Цилиндрический баллон, высота которого равна Н, а внутренний диаметр d, наполнен газом под давлением Толщина цилиндрических стенок баллона а. Определить испытываемые этими стенками растягивающие напряжения в направлениях: 1) продольном и 2) поперечном (напряжение равно отношению растягивающей силы к площади поперечного сечения), считая малым.

Решение. 1) Рассечем цилиндр плоскостью, перпендикулярной его оси, на две части и рассмотрим равновесие одной из них (рис.

72, а). На нее в направлении оси цилиндра действуют сила давления на дно и распределенные по площади сечения силы (действие отброшенной половины), равнодействующую которых обозначим Q. При равновесии

Считая приближенно площадь поперечного сечения равной получим для растягивающего напряжения значение

При решении практических задач далеко не всегда можно считать, что действующая на тело сила приложена в одной точке. Часто силы бывают приложены на целом участке тела (например снеговая нагрузка, ветровая и т.д.). Такая нагрузка называется распределенной. Равномерно распределенная нагрузка характеризуется интенсивностью q (рис.1.29). Интенсивность - это суммарная нагрузка, приходящаяся на единицу длины конструкции.

F x =Fcos(60), F y =Fcos(30)

Решая это уравнение получим:

Из уравнения (2) находим:

F кх = 0; R ах = 0;

Решение. Воспользуемся тем же планом, который применялся для решение задач на сходящуюся систему сил. Объектом равновесия является вся балка, нагрузка на которую показана на чертеже. Отбросим связи - шарниры А и В. Реакцию неподвижного шарнира А разложим на две составляющих -

, а реакция подвижного шарнира В направлена перпендикулярно опорной плоскости. Таким образом, на балку действует плоская произвольная система сил, для которой можно составить три уравнения равновесия. Выберем оси координат и составим эти уравнения. Уравнения проекций:

1. F kx = 0; R ax -Fcos(60) = 0;

2. F ky = 0; R ay + R B - Fcos(30) = 0;

(пара в уравнение проекций не входит, так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю).

Уравнение моментов составляем относительно точки А, поскольку в ней пересекаются две неизвестных силы. При нахождении момента пары относительно точки А помним, что сумма моментов сил пары относительно любой точки равен моменту пары, а знак момента будет положительным, поскольку пара стремится повернуть тело против часовой стрелки. Для нахождения момента силы удобно разложить ее на вертикальную и горизонтальную составляющие:

F x =Fcos(60), F y =Fcos(30)

и воспользоваться теоремой Вариньона, причем следует учесть, что момент от силы относительно точки А равен нулю, поскольку ее линия действия проходит через эту точку. Тогда уравнение моментов примет вид:

; R в. 3-F B cos(30)2 + M = 0.

Решая это уравнение получим:

Из уравнения (2) находим:

R ay = Fcos(30) - R B = 20,867 - 4=-2,67 кН,

а из уравнения (1) R ax = Fcos(60) = 20,5 = 1 кН.

Решение. Заменим равномерно распределенную нагрузку ее равнодействующей Q = 3q = 310 = 30 кН. Она будет приложена в середине пролета, то есть на расстоянии АС = 1,5 м. Рассматриваем равновесие балки АВ. Отбрасываем связь - жесткую заделку, а вместо нее прикладываем две составляющие реакции R ах и R ау и реактивный момент M а. На балку будет действовать плоская произвольная система сил, для которой можно составить три уравнения равновесия, из которых можно найти искомые неизвестные.

F кх = 0; R ах = 0;

F ку = 0; R ау - Q = 0; R ау = Q = 30 кН;

M а (F к) = 0; M а - 1,5Q = 0; M а = 1,5Q = 1,530 = 45 кHм.

Распределение напряжений в случае плоской задачи

Этот случай соответствует напряженному состоянию под стеновыми фундаментами, подпорными стенками, насыпями и другими сооружениями, длина которых значительно превосходит их поперечные размеры:

Где l – длина фундамента; b – ширина фундамента. При этом распределение напряжений под любой частью сооружения, выделенной двумя параллельными сечениями, перпендикулярными оси сооружения, характеризует напряженное состояние под всем сооружением и не зависит от координат, перпендикулярных к направлению загруженной плоскости.

Рассмотрим действие погонной нагрузки в виде непрерывного ряда сосредоточенных сил Р , каждая из которых приходится на единицу длины. В этом случае составляющие напряжений в любой точке М с координатами R и b могут быть найдены по аналогии с пространственной задачей:

Если соотношения геометрических характеристик рассматриваемых точек z , y , b представить в виде коэффициентов влияния K , то формулы для напряжений можно записать так:

Значения коэффициентов влияния K z , K y , K yz табулированы в зависимости от относительных координат z/b , y/b (табл. II.3 приложения II).

Важное свойство плоской задачи в том, что составляющие напряжений t и s y в рассматриваемой плоскости z 0y не зависят от коэффициента поперечного расширения n 0 , как в случае пространственной задачи.

Задача может быть решена и для случая погонной нагрузки, любым образом распределенной по полосе шириной b . При этом элементарную нагрузку dP рассматривают как сосредоточенную силу (рис.3.15).

Рис.3.15. Произвольное распределение

нагрузки по ширине полосы b

Если нагрузка распространяется от точки A (b=b 2) до точки B (b=b 1), то, суммируя напряжения от ее отдельных элементов, получим выражения для напряжений в любой точке массива от действия сплошной полосообразной нагрузки.

При равномерно распределенной нагрузке интегрируют вышеприведенные выражения при P y = P = const. В этом случае главными направлениями, т.е. направлениями, в которых действуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения, будут направления, расположенные по биссектрисе "углов видимости" и им перпендикулярные (рис.3.16). Углом видимости a называют угол, образованный прямыми, соединяющими рассматриваемую точку М с краями полосной нагрузки.

Значения главных напряжений получим из выражений (3.27), полагая в них b=0:

Эти формулы часто используют при оценке напряженного состояния (особенно предельного) в основаниях сооружений.

На величинах главных напряжений как полуосях можно построить эллипсы напряжений, наглядно характеризующие напряженное состояние грунта под равномерно распределенной нагрузкой, приложенной по полосе. Распределение (расположение) эллипсов напряжений при действии местной равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи показано на рис.3.17.

Рис.3.17. Эллипсы напряжений при действии равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи

По формулам (3.28) можно определить s z , s y и t yz во всех точках сечения, перпендикулярного продольной оси нагрузки. Если соединить точки с одинаковыми значениями каждой из этих величин, то получим линии равных напряжений. На рис.3.18 изображены линии одинаковых вертикальных напряжений s z , называемые изобарами, горизонтальных напряжений s y , называемые распорами, и касательных напряжений t zx , называемые сдвигами.

Эти кривые были построены Д.Е.Польшиным методами теории упругости для нагрузки, равномерно распределенной по полосе шириной b , бесконечно простирающейся в направлении, перпендикулярном чертежу. Кривые показывают, что влияние сжимающих напряжений s z интенсивностью 0,1 внешней нагрузки Р сказывается на глубине около 6b , тогда как горизонтальные напряжения s y и касательные t распространяются при той же интенсивности 0,1Р на значительно меньшую глубину (1,5 - 2,0)b . Аналогичные очертания будут иметь криволинейные поверхности равных напряжений для случая пространственной задачи.

Рис.3.18. Линии равных напряжений в линейно деформируемом массиве:

а – для s z (изобары); б – для s y (распор); в – для t (сдвига)

Влияние ширины загруженной полосы сказывается на глубине распространения напряжений. Например, для фундамента шириной 1 м, передающего на основание нагрузку интенсивностью Р , напряжение 0,1Р будет на глубине 6 м от подошвы, а для фундамента шириной 2 м, при той же интенсивности нагрузки, – на глубине 12 м (рис.3.19). При наличии в подстилающих слоях более слабых грунтов это может существенно повлиять на деформацию сооружения.

где a и b / – соответственно углы видимости и наклона линии к вертикали (рис.3.21).

Рис.3.21. Эпюры распределения сжимающих напряжений по вертикальным сечениям массива грунта при действии треугольной нагрузки

В таблице II.4 приложения II приведены зависимости коэффициента К | z в зависимости от z /b и y /b (рис.3.21) для вычисления s z по формуле.

В инженерных расчетах наряду с сосредоточенными силами, которые прилагаются к твердому телу в некоторой точке, встречаются силы, действие которых распределено по определенным участкам объема тела, его поверхности или линии.

Поскольку все аксиомы и теоремы статики формулируются для сосредоточенных сил, то необходимо рассмотреть способы перехода от распределенной нагрузки к сосредоточенным силам.

Рассмотрим некоторые простые случаи распределенной нагрузки тела параллельными силами, которые лежат в одной плоскости вдоль отрезка прямой.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q , то есть величиной силы, которая приходится на единицу длины нагруженного отрезка. Единицей измерения интенсивности является Ньютон, поделенный на метр (Н/м). Интенсивность может быть постоянной (равномерно распределенная нагрузка) или изменяться по линейным и произвольным законам.

Равномерно распределенная нагрузка (рис. 2.5, а), интенсивность которой q является постоянной величиной, при статических расчетах заменяется одной сосредоточенной силой, модуль которой

где – длина нагруженного отрезка.

а) б) в)

Рисунок 2.5

Эта равнодействующая сила , параллельная силам распределенной нагрузки, направлена в направлении распределенных сил и прикладывается посредине нагруженного отрезка АВ .

Такая нагрузка имеет место при размещении на теле однородной балки длиной l с удельным весом q .

Распределенная нагрузка с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону (рис. 2.5, б), появляется, например, под действием давления воды на дамбу, когда нагружение на дамбу будет наибольшим возле дна водоема и является нулевым возле поверхности воды. При этом величина q интенсивности растет от нулевого значения к наибольшему значению q max . Равнодействующая Q такой нагрузки определяется как вес однородной треугольной пластинки АВС , который пропорционален ее площади. Тогда величина этой равнодействующей:

Линия действия равнодействующей силы проходит через центр треугольника АВС на расстоянии от его вершины А .

Примером действия сил, распределенных вдоль отрезка прямой по произвольному закону (рис. 2.5, в), является нагрузка плоского перекрытия сугробом снега. Равнодействующая таких сил по аналогии с силой веса численно будет равняться площади фигуры, измеренной в соответствующем масштабе, а линия действия этой равнодействующей будет проходить через центр площади этой фигуры.

Каждый владелец трехфазного ввода (380 В) обязан позаботиться о равномерной нагрузке на фазы, дабы избежать перегрузки одной из них. При неравномерном распределении на трехфазном вводе, при отгорании нуля или его плохом контакте, напряжения на фазных проводах начинают различаться друг от друга, как в большую так и в меньшую сторону. На уровне однофазного питания (220 Вольт) это может повлечь за собой поломку электрических приборов, из-за повышенного напряжения 250-280 Вольт, или же пониженного 180-150 Вольт. Помимо этого в данном случае наблюдается завышенное потребление электроэнергии у нечувствительных к перекосу напряжений электрических приборов. В этой статье мы расскажем вам, как выполняется распределение нагрузки по фазам, предоставив краткую инструкцию со схемой и видео примером.

Что важно знать

Данная диаграмма условно иллюстрирует трехфазную сеть:

Напряжение между фазами 380 вольт обозначено синим цветом. Зеленым цветом обозначено равномерное распределенное линейное напряжение. Красным — перекос напряжений.

Новым, трехфазным абонентам электросети в частном доме или квартире, при первом подключении, не стоит сильно надеяться на изначально равномерно распределенную нагрузку на вводной линии. Поскольку от одной линии могут быть запитаны несколько потребителей, а у них с распределением могут возникать проблемы.

Если после измерений вы увидели, что есть (более 10%, согласно ГОСТ 29322-92), необходимо обратиться в электроснабжающую организацию для принятия соответствующих мероприятий по восстановлению симметрии фаз. Более подробно о том, можете узнать из нашей статьи.

Согласно договору между абонентом и РЭС (о пользовании электроэнергией), последние должны поставлять качественную электроэнергию в дома, с указанным . Частота также должна соответствовать 50 Герц.

Правила распределения

При проектировании схемы проводки необходимо максимально одинаково подбирать предполагаемые группы потребителей и распределить их по фазам. К примеру, каждая группа розеток по комнатам в доме подключена к своему фазному проводу и сгруппирована таким образом, чтобы нагрузка на сеть была оптимальна. Таким же образом организовывают линии освещения, выполняя их распределение по разным фазным проводника и так далее: стиральная машина, печь, духовка, котел, бойлер.