Пьер ферма. Пьер де ферма - великий ученый с великой теоремой Город в котором умирает ферма

Пьер де Ферма

Аналитик, будь честен!

Иначе ночью Эквидомид-мститель

Сожмет твое горло смертельной тоской..

Луи Феррон, “Опыт мюидальной геометрии”

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец - Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать - Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне (во Франции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики нового времени.

Этот современник Д’Артаньяна почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочери советника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни. Он имел пятерых чад, в последствии ставших судейскими чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам провинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявлений публичности. Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своей страсти к досужим формальным играм. На склоне лет наш герой пишет: “Так как, говоря откровенно, я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременно столь бесполезным, что я делаю мало различия между человеком, который занимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией, и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в нее все силы...” . Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма неожиданно умирает в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы.

Его прижизненная известность основана на обильной переписке, в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта. Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобы разобраться с наследием очередного неуемного гения. Даже такой загадочный “избранник богов” как Эварист Галуа опередил свое время максимум на 60 лет. На окончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века. Ах, Ваша честь, добрейший господин Пьер, почему от Вас так пахнет серой?

Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античной филологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии по алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Всегда можно составить и решить некое простое алгебраическое уравнение, корни которого определяют экстремум. Он придумал алгоритм, который станет основой дифференциального исчисления. В обрывках писем, в незавершенных рукописях сквозь громоздкие вербальные обозначения на латыни отчетливо проступает нечто мучительно знакомое:

Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида y p = Cx q и y p x q = С ), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну: ”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно; ...Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике, которые появилась за последние пять-шесть лет. ...Я нашел также много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете.”

Кто такой отец Мерсенн? Это францисканский монах, ученый скромных дарований и замечательный организатор, в течении 30 лет возглавлявший парижский математический кружок, который стал подлинным центром французской науки. В последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIV будет преобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку, и его келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода “почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”. Переписка заменяла тогда научные журналы, которые появились значительно позже. Сборища у Мерсенна происходили еженедельно. Ядро кружка составляли самые блестящие естествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж, Арди и конечно же знаменитый и повсеместно признанный Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых поместья, основоположник картезианства, “отец” аналитической геометрии, один из основателей новой математики, а так же друг и товарищ Мерсенна по иезуитскому колледжу. Этот замечательный человек станет кошмаром для Ферма.

Мерсенн счел результаты Ферма достаточно интересными, чтобы ввести провинциала в свой элитный клуб. Ферма тут же завязывает переписку со многими членами кружка и буквально засыпает письмами самого Мерсенна. Кроме того он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи: “Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя - “Способ отыскания максимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагал Ферма была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась. Современники не содрогнулись. Они мало, что поняли, но зато нашли однозначные указание на то, что идея алгоритма максимизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера с забавным названием “Новая стереометрия винных бочек”. Действительно, в рассуждения Кеплера встречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны от места наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идея малости приращения функции вблизи экстремума вовсе не носилась в воздухе. Лучшие аналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям с малыми величинами. Дело в том, что в то время алгебра считалась разновидностью арифметики, то есть математикой второго сорта, примитивным подручным средством, разработанным для нужд низменной практики (“хорошо считают только торговцы”). Традиция предписывала придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящих к античной математике. Ферма первый понял, что бесконечно малые величины можно складывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков.

Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламбер в знаменитой “Энциклопедии” признал: “Ферма был изобретателем новых исчислений. Именно у него мы встречаем первое приложение дифференциалов для нахождения касательных”. В конце XVIII века еще более определенно выскажется Жозеф Луи граф де Лагранж: “Но геометры - современники Ферма - не поняли этого нового рода исчисления. Они усмотрели лишь частные случаи. И это изобретение, которое появилось незадолго перед “Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным в течении сорока лет”. Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции” Исаака Барроу, подробно освещавшие метод Ферма.

Кроме всего прочего быстро обнаружилось, что Ферма более склонен формулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решать задачи, предложенные метрами. В эпоху дуэлей обмен задачами между учеными мужами был общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией. Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это вызов, содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик его стиля (адресовано Френиклю де Бесси): “Item, каков наименьший квадрат, который при уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не пришлете мне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими, чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу от Вас ответ, я предложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моем предложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробных чисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели.” Ферма часто повторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, и откровенно блефовал, утверждая, что располагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи. Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из них были замечены современниками, а кое какие коварные утверждения вводили в заблуждение читателей в течении столетий.

Введение

Прошло 375 лет после того как Пьер Ферма изложил на полях книги Великую теорему, всполошившую всех учёных.

На протяжении всех этих лет учёные пытались доказать эту теорему.

Но это уникальное творение Ферма и само уже целое столетие загнано в «подполье», объявлено «вне закона», стало самой презренной и ненавистной задачей во всей истории математики. Но настало время этому «гадкому утенку» математики превращаться в прекрасного лебедя! Удивительная загадка Ферма выстрадала свое право занять достойное место и в сокровищнице математических знаний, и в каждой школе мира рядом со своей сестрой - теоремой Пифагора. Такая уникальная, изящная задача просто не может не иметь и красивые, изящные решения. Если теорема Пифагора имеет 400 доказательств, то пусть в первое время у теоремы Ферма будет всего 4 простых доказательства.

Может, постепенно их станет больше.

Я хочу рассказать об этой уникальной проблеме всех учёных.

Биография Пьер Ферма

Пьер Ферма родился на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т. е. чем-то вроде помощника мэра.

Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ферма избирает юриспруденцию. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). В 1631 году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны - Луизе де-Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым.

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами". Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т.е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Пьера Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений - так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска, о котором будет сказано ниже. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число, а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а-1 делится на р, причем является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел.

В задаче второй книги своей "Арифметики" Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки". Это и есть знаменитая Великая теорема.

Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств. Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интенсивно развивается.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней.

В прошлом веке Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей n. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше 5500.

Из других работ Пьера Ферма остается упомянуть:

) об его занятиях решением некоторых вопросов теории вероятностей, вызванных или поставленных перепискою с Блезом Паскалем;

) о попытках восстановления некоторых из утраченных произведений древних греческих математиков и, наконец,

) об его спорах с Декартом по поводу метода определения наибольших и наименьших величин и по вопросам диоптрики.

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.

Правильные многоугольники

Я хочу знать, когда с помощью циркуля и линейки можно построить правильный n-угольник. Чтобы получить разумный ответ, нужно уточнить постановку задачи. А именно нужно фиксировать размер и положение правильного n-угольника (иначе число решений будет бесконечно, при условии, что есть хотя бы одно решение). Итак, будем считать, что наш n-угольник вписан в данную окружность g с центром О, и фиксировано положение А0 одной его вершины. Требуется определить положения А1, А2, …, Аn-1 остальных вершин. Разумеется, достаточно найти положение точки А1 - откладывая последовательную дугу А0А1, мы получим точки А2, А3, А4 и т.д.

Проще всего эта задача решается при n=6. Известно, что сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу данной окружности. Поэтому нужная «программа» выглядит так (приложение 1):

Циркулем построить из точки А0окружность G1 с радиусом ОА0.

Отметить точку А1пересечения окружностей G и G1.

Мы видим, что эта программа приводит к двум разным ответам, но соответствующие шестиугольники А0А1’А2’A3’A4’A5’ и A0A1”A2”A3”A4”A5” отличаются лишь порядком нумерации вершин. Такая же ситуация наблюдается в случаях n=3 и n=4. Более интересные случаи n=5 и n=10. Я разберу здесь случай n=10.

Если провести биссектрису А1В угла ОА1А0, то образовавшиеся треугольники ОА1В, ВА1А0, будут равнобедренными, а треугольники ОА1А0 и ВА1А0 - подобными. Будем считать прямую ОА0 числовой осью, на которой точке О соответствует нулю, а точка А0 - единице.

Решив это уравнение, мы найдём точку В. Искомая точка А1 найдётся как точка пересечения данной окружности G с окружностью с центром в точке А0 и радиусом длиной х. Таких точек 2 - и получается два решения: точки А1’ и А1”.

Второй корень отрицателен и по этой причине вроде бы не годится. Однако не будем спешить «отбрасывать» этот корень, а попробуем понять его геометрический смысл.

Восстановим предыдущий рисунок (приложение 3), считая, что точка В находится не справа, а слева от точки О. Мы получим другой рисунок (приложение 3). Это даст для искомой точки А1ещё два возможных положения: А1”’ и А1””.

Итак, мы пришли к четырём различным возможностям для точки А1. В результате получается два разных десятиугольника: выпуклый и звездчатый (приложения 2,3).

Заметим, что с «точки зрения» циркуля и линейки звездчатый десятиугольник ничем не хуже выпуклого.

Возможно возражение: у выпуклого многоугольника несмежные стороны не пересекаются, а у звездчатого пересекаются. Но это возражение отпадает, если мы стороной будем называть не отрезок между двумя вершинами (понятия «между» у нас нет!), а всю прямую. Тогда правильный чертёж «выпуклого» десятиугольника будет иметь вид, лишь размером отличающегося от «звездчатого» (приложение 4).

Аналогичная ситуация возникает в случае пятиугольников. Здесь тоже имеется 4 решения, приводящих к двум различным пятиугольникам (приложение 5, а, б) с двумя различными нумерациями вершин на каждом.

Теперь, не решая явно задачи на построения произвольного правильногоугольника, попробуем установить, сколько у неё различных решений. Обозначим через х длину дуги А0А1. Точка А1 является решением задачи (с точки зрения циркуля), если, откладывая дугу длины х от точки А0 последовательно n раз, мы вернёмся в исходную точку А0, а откладывая меньшее число раз - не вернёмся.

Последняя оговорка существенна, иначе в случае, например, n=6 нам пришлось бы назвать «правильным вписанным шестиугольником» дважды пройденный треугольник, или трижды пройденный диаметр, или даже шесть раз повторённую точку А0.

На языке арифметики, принимая длину всей окружности за единицу, наше условие можно сформулировать так: число nx - целое, а числа х, 2х, 3х, …, (n-1)х - не целые. Это соответствует тем четырём решениям, которые мы раньше нашли геометрическим способом. Заметим, что если взять в качестве х число (или , ,…), то новых геометрических решений мы не получим: положение точки на окружности зависит не от самого числа х = , а от остатка, который даёт k при делении на n.Ясно, что несократимые дроби (m

Правильный n-угольник допускает построение циркулем и линейкой только тогда, когда ф(n)=2l для некоторого целого l.

(Например, правильный семиугольник построить невозможно, так как число ф(n)=6 не является степенью двойки.)

Необходимость этого условия я постаралась объяснить. То, что оно является так же достаточным,- отдельный результат.

Числа Ферма

Полученный результат не исчерпывает полностью поставленную задачу. Остаётся невыясненным вопрос - а много ли таких чисел n, для которых ф(n)=2l, т.е. много ли вообще «красных» чисел?

Разумеется, про каждое отдельное число мы можем довольно быстро сказать, красное оно или чёрное - достаточно вычислить ф(n). Но это не даст наглядного описания всей совокупности красных чисел. Оказывается, поиск такого описания приводит к трудной и до сих пор не решённой проблемы из теории чисел.

Разложим n на простые множители:=p1m1p2m2…pkmk,

где p1,…,рk - различные простые числа, и посчитаем ф(n). Из свойств функции Эйлера (1) и (2) мы получаем:

ф(n)=ф(p1m1)ф(р2m2)…ф(pkmk)=p1m1-1p2m2-1(p1-1)(p2-1)…(pk-1).

Чтобы правая часть последнего выражения была степенью двойки, нужно, чтобы каждый нечётный простой множительp1 входил в него с показателем m1=1: при этом само число р1обязано иметь вид р1=2l+1. С другой стороны, выражение 2l+1 может быть простым лишь тогда, когда l - степень двойки. Итак, каждый нечётный множитель р1=+1.

Числа вида +1 получили название чисел Ферма. Первые пять чисел Ферма (при k=0,1,2,3,4) - 3, 5, 17, 257, 65537 - действительно оказались простыми. Как обнаружил Эйлер, шестое число Ферма 1 делится на 641.

Со времён Эйлера числами Ферма интересовались математики разных стран. В частности, почти ровно сто лет назад 1878 году, на заседании Петебургской академии наук слушалось сообщение Е.И. Золотарева о работе, представленной академии священником Ионном Первушиным. В этой работе устанавливалось, что число делится на 167722161 = 5225+1.

В последнее время многие числа Ферма исследованы на компьютерах. Среди них простых чисел обнаружить так и не удалось, так что до сих пор неизвестно, существуют ли простые числа Ферма, кроме первых пяти. Поэтому я вынуждена сформулировать ответ на задачу в может ещё не окончательной форме:

Правильный n-угольник допускает построение циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n=2kр1р2…рk , где р1 - попарно различные числа Ферма.

Великая теорема Ферма

Для любого натурального числа n> 2 уравнение xn+yn=zn не имеет натуральных решений x,y и z.

Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Теорему Ферма достаточно доказать для любого простого показателя n = p> 2, т. е. достаточно доказать, что уравнение

не имеет решений в целых ненулевых взаимно простых числах x, y, z.

первый случай, когда (xyz, p) = 1 и

второй случай, когда p|z.

Доказательство второго случая теоремы Ферма более сложно и обычно проводится методом бесконечного спуска.

Теорема Ферма может быть сформулирована так: для любого натурального числа n> 2 на кривой Ферма xn + yn = 1 нет рациональных точек, кроме тривиальных (0, ±1), (±1,0). Рациональные точки на кривой Ферма исследуются методами алгебраической геометрии. Этими методами доказано, что число рациональных точек на кривой Ферма во всяком случае конечно, что следует из гипотезы Морделла, доказанной Г. Фалтингсом.

Уравнение Ферма рассматривается в алгебраических числах, целых функциях, матрицах и т.д. Имеются обобщения теоремы Ферма для уравнений вида

ферма число теорема доказательство

Облегчённая теорема Ферма

Доказательство:

Пусть существуют натуральные числа x, y, n, я такие, что n≥z и xn+yn=zn. Нетрудно заметить, что xxn, вопреки нашему ожиданию, что xn+yn=zn. Отсюда следует справедливость утверждения.

Что и требовалось доказать.

Малая теорема Ферма

Для любого простого р и целого а, ар-1 - 1 делится на р.

Доказательство:

Рассмотрим два случая: a делится на p; a не делится на p.

) a делится на p;

Тогда используя сравнения <#"556025.files/image012.jpg">

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Творческая работа Загайновой Ольги и Загайновой Натальи. Математик и дьявол

После нескольких месяцев напряженной работы по изучению бесчисленных выцветших манускриптов Саймону Флэггу удалось вызвать дьявола. Жена Саймона, знаток средневековья, оказала ему неоценимую помощь. Сам он, будучи всего лишь математиком, не мог разбирать латинские тексты, особенно осложненные редкими терминами демонологии X века. Замечательное чутье миссис Флэгг пришлось тут как нельзя кстати. После предварительных стычек Саймон и черт сели за стол для серьезных переговоров. Гость из ада был угрюм, так как Саймон презрительно отверг его самые заманчивые предложения, легко распознав смертельную опасность, скрытую в каждой соблазнительной приманке. - А что, если теперь вы для разнообразия выслушаете мое предложение? - сказал наконец Саймон. - Оно, во всяком случае, без подвохов. Дьявол раздраженно покрутил раздвоенным кончиком хвоста, будто это была обыкновенная цепочка с ключами. Очевидно, он был обижен. - Ну что ж, - сердито согласился он. - Вреда от этого не будет. Валяйте, мистер Саймон! - Я задам вам только один вопрос, - начал Саймон, и дьявол повеселел. - Вы должны ответить на него в течение двадцати четырех часов. Если это вам не удастся, вы платите мне сто тысяч долларов. Это скромное требование - вы ведь привыкли к неизмеримо большим требованиям. Никаких миллиардов, никаких Елен троянских на тигровой шкуре. Конечно, если я выиграю, вы не должны мстить. - Подумаешь! - фыркнул черт. - А какова ваша ставка? - Если я проиграю, то на короткий срок стану вашим рабом. Но без всяких там мук, гибели души и тому подобного - это было бы многовато за такой пустяк, как сто тысяч долларов. Не желаю я вреда и моим родственникам или друзьям. Впрочем, - подумав, добавил он, - тут могут быть исключения. Дьявол нахмурился, сердито дергая себя за кончик хвоста. Наконец он дернул так сильно, что даже скривился от боли, и решительно заявил:

Очень жаль, но занимаюсь только душами. Рабов у меня и так хватает. Если бы вы знали, сколько бесплатных и чистосердечных услуг оказывают мне люди, вы были бы поражены. Однако вот что я сделаю. Если в заданное время я не смогу ответить на ваш вопрос, вы получите не жалкие сто тысяч долларов, а любую - конечно, не слишком дикую - сумму. Кроме того, я предлагаю вам здоровье и счастье до конца вашей жизни. Если же я отвечу на ваш вопрос - ну что ж, последствия вам известны. Вот все, что я могу вам предложить.

Он взял из воздуха зажженную сигару и задымил. Воцарилось настороженное молчание. Саймон смотрел перед собой, ничего не видя. Крупные капли пота выступили у него на лбу. Он отлично знал, какие условия может выставить черт. Мускулы его лица напряглись... Нет, он готов прозакладывать душу, что никто - ни человек, ни зверь, ни дьявол - не ответит за сутки на его вопрос. - Включите в пункт о здоровье и счастье мою жену - и по рукам! - сказал он. - Давайте подпишем. Черт кивнул. Он вынул изо рта окурок, с отвращением посмотрел на него и тронул когтистым пальцем. Окурок мгновенно превратился в розовую мятную таблетку, которую черт принялся сосать громко и с явным наслаждением. - Что касается вашего вопроса, - продолжал он, - то на него должен быть ответ, иначе наш договор недействителен. В средние века люди любили загадки. Нередко ко мне приходили с парадоксами. Например: в деревне жил только один цирюльник, который брил всех, кто не брился сам. Кто брил цирюльника? - спрашивали они. Но, как отметил Рассел, словечко "всех" делает такой вопрос бессмысленным, и ответа на него нет. - Мой вопрос честный и не содержит парадокса, - заверил его Саймон. - Отлично. Я на него отвечу. Что вы ухмыляетесь? - Я... ничего, - ответил Саймон, согнав с лица усмешку. - У вас крепкие нервы, - сказал черт мрачным, но одобрительным тоном, извлекая из воздуха пергамент. - Если бы я предстал перед вами в образе чудовища, сочетающего в себе миловидность ваших горилл с грациозностью монстра, обитающего на Венере, вы едва ли сохранили бы свой апломб, и я уверен... - В этом нет никакой надобности, - поспешно сказал Саймон. Он взял протянутый ему договор, убедился, что все в порядке, и открыл перочинный нож. - Минуточку! - остановил его дьявол. - Дайте я его продезинфицирую. - Он поднес лезвие к губам, слегка подул, и сталь накалилась до вишнево-красного цвета. - Ну вот! Теперь прикоснитесь кончиком ножа... гм... к чернилам, и это все... Прошу вас, вторая строчка снизу, последняя - моя. Саймон помедлил, задумчиво глядя на раскаленный кончик ножа.

Подписывайтесь, - поторопил черт, и Саймон, расправив плечи, поставил свое имя. Поставив и свою подпись с пышным росчерком, дьявол потер руки, окинул Саймона откровенно собственническим взглядом и весело сказал: - Ну, выкладывайте свой вопрос! Как только я на него отвечу, мы отправимся. Мне надо посетить сегодня еще одного клиента, а времени в обрез. - Хорошо, - сказал Саймон и глубоко вздохнул. - Мой вопрос такой: верна или не верна великая теорема Ферма? Дьявол проглотил слюну. В первый раз его самоуверенность поколебалась. - Великая - чья? Что? - глухим голосом спросил он. - Великая теорема Ферма. Это математическое положение, которое Ферма, французский математик семнадцатого века, якобы доказал. Однако его доказательство не было записано, и до сего дня никто не знает, верна теорема или нет. - Когда Саймон увидел физиономию черта, у него дрогнули губы. - Ну вот, ступайте и займитесь! - Математика! - в ужасе воскликнул хвостатый. - Вы думаете, у меня было время изучать такие штуки? Я проходил тривиум и квадривиум , но что касается алгебры... Скажите, - возмущенно добавил он, - этично ли задавать мне такой вопрос? Лицо Саймона окаменело, но глаза сияли. - А вы предпочли бы сбегать за сто двадцать тысяч километров и принести какой-нибудь предмет величиной с гидростанцию Боулдер Дэм, - поддразнил он черта. - Время и пространство для вас легкое дело, правда? Что ж, сожалею, но я предпочитаю свой вопрос. Он очень прост, - успокаивающе добавил Саймон. - Речь идет о положительных целых числах. - А что такое положительное число? - взволновался черт. - И почему вы хотите, чтобы оно было целым? - Выразимся точнее, - сказал Саймон, пропустив вопрос дьявола мимо ушей. - Теорема Ферма утверждает, что для любого положительного целого числа n больше двух уравнение Xn + Yn = Zn не имеет решения в положительных целых числах. - А что это значит?.. - Помните, вы должны дать ответ. - А кто будет судьей - вы? - Нет, - ласково ответил Саймон. - Я не считаю себя достаточно компетентным, хотя бился над этой проблемой несколько лет. Если вы явитесь с ответом, мы представим его в солидный университет.

Я справлюсь, мне случалось делать и более трудные вещи, дорогой мой мистер Саймон, - сказал дьявол, - однажды я слетал на отдалённую звезду и принёс оттуда литр нейтрония ровно за 16…

Знаю, - перебил его Саймон. - Вы мастер на подобные фокусы. - Какие там фокусы! - сердито пробурчал дьявол. - Были гигантские технические трудности. Но не стоит ворошить прошлое. Я - в библиотеку, а завтра в это время... - Нет, - жестко перебил его Саймон. - Мы расписались полчаса назад. Возвращайтесь только через двадцать три с половиной часа. Не буду торопить вас, - иронически добавил он, когда дьявол с тревогой взглянул на часы. - Выпейте рюмку вина и, прежде чем уйти, познакомьтесь с моей женой. - На работе я никогда не пью, и у меня нет времени знакомиться с вашей женой... во всяком случае, теперь. Он исчез. В тот же миг вошла жена Саймона. - Опять подслушивала у дверей! - мягко упрекнул ее Саймон. - Конечно, - сдавленным голосом проговорила она. - И я хочу знать, дорогой, действительно ли труден этот вопрос. Потому что, если это не так... Саймон, я просто в ужасе! - Будь спокойна, вопрос труден, - беспечно ответил Саймон. - Не все это сразу понимают. Видишь ли, - тоном лектора продолжал он, - всякий легко найдет два целых числа, квадраты которых в сумме тоже дают квадрат. Например, 32 + 42 = 52, то есть просто 9 + 16 = 25. Ясно? - Да! Она поправила мужу галстук. - Но никто еще не мог найти два куба, которые при сложении тоже давали бы куб, или более высокие степени, которые приводили бы к аналогичному результату, - по-видимому, их просто нет. И все же, - торжествующе закончил он, - до сих пор не доказано, что таких чисел не существует! Теперь поняла? - Конечно. - Жена Саймона всегда понимала самые мудреные математические положения. А если что-то оказывалось выше ее понимания, муж терпеливо объяснял ей все по нескольку раз. Поэтому у миссис Флэгг оставалось мало времени для прочих дел. - Сварю кофе, - сказала она и ушла. Четыре часа спустя, когда они сидели и слушали Третью симфонию Брамса, дьявол явился вновь. - Я уже изучил основы алгебры, тригонометрии и планиметрии! - торжествующе объявил он. - Быстро работаете! - похвалил его Саймон. - Я уверен, что сферическая, аналитическая, проективная, начертательная и неевклидовы геометрии не представят для вас затруднений. Дьявол поморщился. - Их так много? - упавшим голосом спросил он. - О, это далеко не все. - У Саймона был такой вид, словно он сообщил радостную весть. - Неевклидовы вам понравятся, - усмехнулся он. - Для этого вам не надо будет разбираться в чертежах. Чертежи ничего не скажут. И раз вы не в ладах с Евклидом... Дьявол застонал, поблек, как старая кинопленка, и исчез. Жена Саймона хихикнула. - Мой дорогой, - пропела она, - я начинаю думать, что ты возьмешь верх! - Тсс! Последняя часть! Великолепно!

Еще через шесть часов что-то вспыхнуло, комнату заволокло дымом, и дьявол опять оказался тут как тут. У него появились мешки под глазами. Саймон Флэгг согнал с лица усмешку. - Я прошел все эти геометрии, - с мрачным удовлетворением произнес черт. - Теперь будет легче.

Я, пожалуй, готов заняться вашей маленькой головоломкой. Саймон покачал головой. - Вы слишком спешите. По-видимому, вы не заметили таких фундаментальных методов, как анализ бесконечно малых, дифференциальные уравнения и исчисление конечных разностей. Затем есть еще... - Неужели все это нужно? - вздохнул дьявол. Он сел и начал тереть кулаками опухшие веки. Бедняга не мог удержать зевоту. - Не могу сказать, наверное, - безразличным голосом ответил Саймон. - Но люди, трудясь над этой "маленькой головоломкой", испробовали все разделы математики, а задача еще не решена. Я предложил бы... Но черт не был расположен выслушивать советы Саймона. На этот раз он исчез, даже не встав со стула. И сделал это довольно неуклюже.

Мне кажется, он устал, - заметила миссис Флэгг. - Бедный чертяка! Впрочем, в ее тоне трудно было уловить сочувствие. - Я тоже устал, - отозвался Саймон. - Пойдем спать. Я думаю, до завтра он не появится. - Возможно, - согласилась жена. - Но на всякий случай я надену сорочку с черными кружевами. Наступило утро следующего дня. Теперь супругам показалась более подходящей музыка Баха. Поэтому они поставили пластинку с Вандой Ландовской. - Еще десять минут, и, если он не вернется с решением, мы выиграли, - сказал Саймон. - Я отдаю ему должное.

Он мог бы окончить курс за один день, притом с отличием, и получить диплом доктора философии. Однако... Раздалось шипение. Распространяя запах серы, поднялось алое грибообразное облачко. Перед супругами на коврике стоял дьявол и шумно дышал, выбрасывая клубы пара. Плечи его опустились. Глаза были налиты кровью. Когтистая лапа, все еще сжимавшая пачку исписанных листов, заметно дрожала. Вероятно, у него пошаливали нервы. Молча он швырнул кипу бумаг на пол и принялся яростно топтать их раздвоенными копытами. Наконец, истощив весь заряд энергии, черт успокоился, и горькая усмешка скривила его рот.

Вы выиграли, Саймон, - прошептал черт, глядя на математика с беззлобным уважением. - Даже я не мог за это короткое время изучить математику настолько, чтобы одолеть такую трудную задачу. Чем больше я в нее углублялся, тем хуже шло дело.

Неединственное разложение на множители, идеальные числа - о Ваал!.. Вы знаете, - доверительно сообщил он, - даже лучшие математики других планет - а они ушли далеко от вас - не добились решения. Эх, один молодчик на Сатурне - он немного напоминает гриб на ходулях - в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Но тут и он спасовал, - дьявол вздохнул.

Будьте здоровы. Черт исчезал очень медленно. Видно, он таки изрядно устал.

Пьер Ферма родился на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т. е. чем-то вроде помощника мэра. Метрическая запись о его крещении от 20 августа 1601 года гласит: "Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона".

В колледже Пьер приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого, испанского, итальянского. Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков.

Но Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ферма избирает юриспруденцию. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). В 1631 году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны - Луизе де-Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым. Ему мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма, вышедшим в 1679 году. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему ученых. Одной из первых математических работ Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония "О плоских местах".

Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих относящихся к 1629 году работах о наибольших и наименьших величинах, - работах, открывших собою тот ряд исследований Ферма, который является одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности. .

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.

Дальнейший успех методов определения "площадей", с одной стороны, и "методов касательных и экстремумов" - с другой,состоял в установлении взаимной связи этих методов.

18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а-1 делится на р, причем к является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел.

Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней.

Ферма первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Ферма принадлежит открытие закона распространения света в средах. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света.

(1601-1665) французский математик

Пьер Ферма родился в августе 1601 года на юге Франции в семье помощника мэра городка Бомон-де-Ломань. Мать Пьера, урожденная Клер де Лонг, была из семьи юристов.

Доминик Ферма, отец Пьера, считал, что сыну нужно дать хорошее гуманитарное образование. И он не ошибся: Пьер действительно имел выдающиеся способности к гуманитарным дисциплинам. Впоследствии к нему обращались как к знатоку античной культуры, чтобы выяснить те или иные вопросы, которые возникали при издании античных классиков. Он был признанным авторитетом в греческой филологии. Но слава к нему пришла как к великому математику.

В колледже Пьер проявил способности к изучению языков. Итальянским и латинским, греческим и испанским он владел настолько свободно, что писал на них стихи.

Итак, Пьер Ферма учился сначала в родном городе у францисканцев, а продолжил образование в Тулузе, в университете. Выбор юридического факультета не был неожиданностью, так как его дедушка был юристом и вообще профессия юриста была весьма престижной.

Прекрасное гуманитарное образование, знание языков приводят Ферма к изучению древних авторов, и, наконец, возникает неослабевающий интерес к математике, которой он посвящает все свободное время. Его работы по математике были известны современным ученым. В то же время при жизни Ферма почти не печатался. Научные контакты существовали в виде переписки между математиками. В ней ставились задачи, рассказывалось об их решении, обсуждались проблемы, возникали споры и даже выяснялись отношения. Ферма переписывался с крупнейшими математиками того времени - Декартом, Паскалем, Френиклем де Бюсси, Гюйгенсом, Торричелли, Валлисом. Своеобразным центром переписки был парижский аббат Мерсенн. Зачастую письмо приходило к Мерсенну, он размножал его и посылал тем математикам, которых интересовали эти проблемы.

В 1629 году Ферма выполнил работу, которая потребовала и знания филологии, и математического таланта. Он восстановил ход рассуждений и доказательств Аполлония по латинскому переводу математических работ Паппа. Дело в том, что работы многих великих математиков античности, например греческого математика Аполлония (260-170 гг. до н. э.), известны науке благодаря пересказу их Паппом (III век н. э.).

Пьер Ферма работал во многих областях математики. Он создал теорию чисел, оставил великую теорему Ферма: дио-фантово уравнение х" + у" = г", где п - целое число, больше двух, не имеет решений в целых положительных числах.

Сочинения Диофанта (III в.) были изданы в XVI веке. Греческий текст «Арифметики» Диофанта с латинским переводом издал Баше де Мезириан в 1621 году. Один экземпляр этого перевода оказался у Пьера Ферма, и этот экземпляр, впоследствии ставший знаменитым, вызвал огромное количество толков и пересудов. Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта и на полях книги делал свои замечания. Против одной из задач Диофанта он написал на полях книги: «Куб, однако, на два куба, или квадратоквадрат на два квадратоквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того названия невозможно разделить». Одна только эта фраза сделала имя Ферма бессмертным.

Другой великий, но уже современный математик, самый авторитетный в мире, был председателем комиссии по присуждению большой международной премии (которая, правда, была аннулирована в конце Первой мировой войны) за доказательство великой теоремы Ферма. Это Д. Гильберт (1862-1943).

Кроме великой теоремы Ферма в теории чисел, французский математик добился замечательных результатов в аналитической геометрии, в анализе при нахождении максимумов и минимумов, в неопределенных уравнениях. Замечательные результаты получил он и в теории вероятностей. Три великих имени стоят у истоков этой науки будущего - теории вероятностей: Паскаль, Ферма, Гюйгенс. Замечательна работа ученого в геометрической оптике, где есть «принцип Ферма», или «принцип наименьшего действия».

Математическое творчество не мешало работе Ферма. Сначала ему приносила доход адвокатская практика, которая проходила очень успешно, затем он переходит на государственную службу в кассационную палату Тулузского парламента на должность чиновника по приему жалоб. Во Франции городские судебные органы играли ключевую роль в жизни общества и назывались парламентами. В том же 1631 году, когда Пьер Ферма поступил на работу в Тулузский парламент, он женился на Луизе де Лонг, дочери советника этого же парламента. Заметим также, что его жена была кузиной матери Пьера. У них было пятеро детей - три сына и две дочери. Старший, Самюэль-Клемент, был доктором права и адвокатом. Как и отец, он помимо службы занимался творчеством. Младший сын Клер также выбрал юридическое образование, средний, Жан, - духовную карьеру, а дочери приняли монашество.

На работе Пьер Ферма пользовался авторитетом очень честного человека, эрудированного юриста. Интересно, что высшим чиновникам парламента предлагалось избегать излишнего общения, чтобы не давать повода для сплетен и пересудов. Вот и получилось, что Ферма вел весьма замкнутый, уединенный образ жизни, приходил со службы и садился за письменный стол. Так он работал, на одном месте, 34 года. На службе - советник следственной палаты, юрист и знаток права, неподкупный, добросовестный и честный чиновник, дома за письменным столом - великий математик. Умер Пьер Ферма во время одной из служебных поездок 12 января 1665 года.

Мир узнал о творческом наследии великого математика после издания его писем, математических работ, книги Диофанта с его замечаниями. Издал все это его старший сын Самюэль-Клемент.

Введение

Прошло 375 лет после того как Пьер Ферма изложил на полях книги Великую теорему, всполошившую всех учёных.

На протяжении всех этих лет учёные пытались доказать эту теорему.

Может, постепенно их станет больше.

Я хочу рассказать об этой уникальной проблеме всех учёных.

Биография Пьер Ферма

18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число, а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а-1 делится на р, причем является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней.

Из других работ Пьера Ферма остается упомянуть:

1) об его занятиях решением некоторых вопросов теории вероятностей, вызванных или поставленных перепискою с Блезом Паскалем;

2) о попытках восстановления некоторых из утраченных произведений древних греческих математиков и, наконец,

3) об его спорах с Декартом по поводу метода определения наибольших и наименьших величин и по вопросам диоптрики.