Частные производные сложной функции второго порядка. Теоретический материал. Производная сложной функции от одной переменной

1°

1°. Случай одной независимой переменной . Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример . Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f (x ; y ) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t : х = x (t ), у = y (t ). В этом случае функция z = f (x (t ); y (t )) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x ; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция и х = x (t ) и у =y (t ) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z (t ) == f (x (t ); y (t )) вычисляется по формуле

Частный случай: z = f (x ; у), где у = у(х), т.е. z = f (x ; y (x )) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f (x ; y ), где х = x (u ; v ), y = y (u ; v ). Тогда z = f { x (u ; v ); y (u ; v )) - сложная функция независимых переменных и и v . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z ) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z =f (x ,y ), где x =uv , .

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

Т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Производная в данном направлении и градиент функции

1°. Производная функции в данном направлении . Производной функции z=f (x,y) в данном направлении называется , где и - значения функции в точках и . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

где - углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

Пример. Найти производную функции z = 2х 2 - Зу 2 в точке P (1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P .

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$

$$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$

$$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$

Смешанная производная

$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$

$$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:

$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Решение

Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Пример 2

Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $

Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z"_x = (e^{xy})"_x = e^{xy} \cdot (xy)"_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z"_y = (e^{xy})"_y = e^{xy} \cdot (xy)"_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z""_{xx} = (z"_x)"_x = (ye^{xy})"_x = (y)"_x e^{xy} + y(e^{xy})"_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)"_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z""_{yy} = (z"_y)"_y = (xe^{xy})"_y = (x)"_y e^{xy} + x(e^{xy})"_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z"_x $ по $ y $, а можно $ z"_y $ по $ x $, так как по теореме $ z""_{xy} = z""_{yx} $ $$ z""_{xy} = (z"_x)"_y = (ye^{xy})"_y = (y)"_y e^{xy} + y (e^{xy})"_y = ye^{xy}\cdot (xy)"_y = yxe^{xy} $$

Ответ

$$ z"_x = ye^{xy}; z"_y = xe^{xy}; z""_{xy} = yxe^{xy} $$

Пример 4

Пусть $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.

Решение

Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Ответ

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример. Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f(x;y) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией

независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z=f(x(t);y(t)) является

сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция

и х = x(t) и у =y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t,

то производная сложной функции z(t) == f (x(t);y(t)) вычисляется по формуле

(3)

Частный случай: z = f(x; у), где у = у(х), т.е. z = f(x;y(x)) - сложная функция одной

независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной

t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f(x;y), где х = x(u;v), y=y(u;v). Тогда z = f{x(u;v);y(u;v)) - сложная

функция независимых переменных и и v. Ее частные производные и можно найти,

используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней ,

соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v)

равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным

переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z=f (x,y), где x=uv, .

§ 5. Частные производные сложных функций. дифференциалы сложных функций

1. Частные производные сложной функции.

Пусть – функция двух переменных, аргументы которой и , сами являются функциями двух или большего числа переменных. Например, пусть
,
.

Тогда будет сложной функцией независимых переменных и , переменные и будут для нее промежуточными переменными. Как в этом случае найти частные производные функции по и ?

Можно, конечно, выразить непосредственно через и :

и искать частные производные от получившейся функции. Но выражение может оказаться очень сложным, и нахождение частных производных , потребует тогда больших усилий.

Если функции
,
,
дифференцируемы, то найти и можно не прибегая к непосредственному выражению через и . В этом случае будут справедливы формулы

(5.1)

Действительно, дадим аргументу приращение
, – const. Тогда функции
и получат приращения

а функция получит приращение

где , – бесконечно малые при
,
. Разделим все члены последнего равенства на . Получим:

Так как по условию функции и дифференцируемы, то они непрерывны. Следовательно, если
, то и . А значит, переходя в последнем равенстве к пределу при получим:

(так как , – бесконечно малые при , ).

Аналогично доказывается и второе равенство из (5.1).

ПРИМЕР. Пусть
, где
,
. Тогда является сложной функцией независимых переменных и . Для нахождения ее частных производных воспользуемся формулой (5.1). Имеем

Подставляя в (5.1), получаем

,

Формулы (5.1) естественным образом обобщаются на случай функции большего числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если ,

………………………

и все рассматриваемые функции дифференцируемы, то для любого
имеет место равенство

Возможен также случай, когда аргументы функции являются функциями только одной переменной, т.е.

,
.

Тогда будет являться сложной функцией только одной переменной и можно ставить вопрос о нахождении производной . Если функции ,
,
дифференцируемы, то она может быть найдена по формуле
(5.2)

ПРИМЕР. Пусть
, где
,
. Здесь является сложной функцией одной независимой переменной . Пользуясь формулой (5.2) получим

.

И, наконец, возможен случай, когда роль независимой переменной играет , т.е. ,

где
.

Из формулы (5.2) тогда получаем

(5.3)

(так как
). Производная , стоящая в формуле (5.3) справа – это частная производная функции по . Она вычисляется при закрепленном значении . Производная в левой части формулы (5.3) называется полной производной функции . При ее вычислении учтено, что зависит от двояким образом: непосредственно и через второй аргумент .

ПРИМЕР. Найти и для функции
, где
.

Имеем
.

Для нахождения воспользуемся формулой (5.3). Получим

.

И в заключение этого пункта заметим, что формулы (5.2) и (5.3) легко обобщить на случай функций с большим числом промежуточных аргументов.

2. Дифференциал сложной функции.

Напомним, что если

– дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению

, (5.4)

или в другом виде
. (5.5)

Преимущество формулы (5.5) в том, что она остается верна и в том случае, когда – сложная функция.

Действительно, пусть , где , . Предположим, что функции , , дифференцируемы. Тогда сложная функция тоже будет дифференцируема и ее полный дифференциал по формуле (5.5) будет равен

.

Применяя формулу (5.1) для вычисления частных производных сложной функции, получаем

Так как в скобках стоят полные дифференциалы функций и , то окончательно имеем

Итак, мы убедились, что и в том случае, когда и – независимые переменные, и в том случае, когда и – зависимые переменные, дифференциал функции можно записать в виде (5.5). В связи с этим, данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной . Предложенная в (5.4) форма записи дифференциала не будет инвариантной, она может использоваться только в том случае, когда и – независимые переменные. Не будет инвариантной и форма записи дифференциала -го порядка. Напомним, что ранее мы показали, что дифференциал порядка функции двух переменных может быть найден по формуле

. (4.12)

Но если и не являются независимыми переменными, то формула (4.12) при
перестает быть верной.

Очевидно, что все рассуждения, проведенные в этом пункте для функции двух переменных, можно повторить и в случае функции большего числа аргументов. Следовательно, для функции дифференциал тоже может быть записан в двух видах:

причем вторая форма записи будет инвариантной, т.е. справедливой и в том случае, когда
являются не независимыми переменными, а промежуточными аргументами.

§ 6. Дифференцирование неявных функций

Говоря о способах задания функции одной и нескольких переменных, мы отмечали, что аналитическое задание функции может быть явным или неявным. В первом случае значение функции находится по известным значениям аргументов; во втором – значение функции и ее аргументов связаны некоторым уравнением. При этом мы не уточняли, когда уравнения

и

определяют неявно заданные функции и соответственно. Удобные для применения достаточные условия существования неявной функции переменных (
) содержатся в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 6.1 . (существования неявной функции) Пусть функция
и ее частные производные
определены и непрерывны в некоторой окрестности точки . Если
и
, то существует такая окрестность точки , в которой уравнение

определяет непрерывную функцию причем

1) Рассмотрим уравнение
. Условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки
. Следовательно, в некоторой окрестности точки
это уравнение определяет как неявную функцию двух переменных и . Явное выражение этой функции легко получить, разрешив уравнение относительно :

2) Рассмотрим уравнение
. Оно определяет две функции двух переменных и . Действительно, условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки

, в которой заданное уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение
.

С другой стороны, условия теоремы выполняются в любой окрестности точки
. Следовательно, в некоторой окрестности точки уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение
.

Так как функция не может принимать в одной точке два значения, значит здесь идет речь о двух различных функциях
и соответственно. Найдем их явные выражения. Для этого разрешим исходное уравнение относительно . Получим

3) Рассмотрим уравнение
. Очевидно, что условия теоремы выполняются в любой окрестности точки
. Следовательно, найдется такая окрестность точки
, в которой уравнение определяет как неявную функцию переменной . Получить явное выражение для этой функции невозможно, так как уравнение нельзя разрешить относительно .

4) Уравнение
не определяет никакой неявной функции, так как нет таких пар действительных чисел и , которые ему удовлетворяют.

Функция
, заданная уравнением
, согласно теореме 6.1, имеет в окрестности точки непрерывные частные производные по всем аргументам. Выясним, как можно их найти, не имея явного задания функции.

Пусть функция
удовлетворяет условиям теоремы 6.1. Тогда уравнение
непрерывную функцию
. Рассмотрим сложную функцию
, где . Функция является сложной функцией одной переменной , причем если
, то

(6.1)

С другой стороны, по формуле (5.3) для вычисления полной производной
(6.2)

Из (6.1) и (6.2) получаем, что если , то

(6.3)

Замечание. Делить на можно, так как согласно теореме 6.1
в любой точке окрестности .

ПРИМЕР. Найти производную неявной функции , заданной уравнением и вычислить ее значение при
.

,
.

Подставив частные производные в формулу (6.3), получим

.

Далее, подставляя в исходное уравнение , найдем два значения :
и
.

Следовательно, в окрестности точки уравнение определяет две функции:
и
, где
,
. Их производные при будут равны

и
.

Пусть теперь уравнение
определяет в некоторой окрестности точки
функцию . Найдем . Напомним, что фактически это обыкновенная производная функции , рассматриваемой как функция переменной при постоянном значении . Поэтому мы можем применить для нахождения формулу (6.3), считая функцией, – аргументом, – константой. Получим

. (6.4)

Аналогично, считая функцией, – аргументом, – константой по формуле (6.3) находим

. (6.5)

ПРИМЕР. Найти частные производные функции , заданной уравнением
.

,
,
.

Пользуясь формулами (6.4) и (6.5), получим

,
.

И, наконец, рассмотрим общий случай, когда уравнение

определяет в некоторой окрестности точки функцию переменных . Повторяя рассуждения, проведенные для неявно заданной функции двух переменных, получим

,
, …,
.

§ 7. Производная по направлению

1. Производная по направлению.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой области
плоскости
, – точка области , –вектор любого направления. Перейдем из точки
в точку в направлении вектора . Функция получит при этом приращение

Разделим приращение функции
на длину отрезка смещения
. Полученное отношение
дает среднюю скорость изменения функции на участке
. Тогда предел этого отношения при
(если он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке
в направлении вектора . Его называют производной функции в точке по направлению вектора и обозначают
или
.

Помимо величины скорости изменения функции, позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора (возрастание или убывание):

Доказываются эти утверждения также, как и подобные для функции одной переменной.

Заметим, что частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно,
это производная функции по направлению вектора (направлению оси
), – производная функции по направлению вектора (направлению оси
).

Предположим, что функция дифференцируема в точке . Тогда

где – бесконечно малая при
.

Обозначая через , имеем , получим, в точке в точке

Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.

Содержание

См. также: Примеры применения формулы производной сложной функции

Основные формулы

Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Если , то
.
Если , то
.
Если , то
.

Производная сложной функции от одной переменной

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
где и есть некоторые функции. Функция дифференцируема при некотором значении переменной x . Функция дифференцируема при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x и ее производная определяется по формуле:
(1) .

Формулу (1) также можно записать так:
;
.

Доказательство

Введем следующие обозначения.
;
.
Здесь есть функция от переменных и , есть функция от переменных и . Но мы будем опускать аргументы этих функций, чтобы не загромождать выкладки.

Поскольку функции и дифференцируемы в точках x и , соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.

Рассмотрим следующую функцию:
.
При фиксированном значении переменной u , является функцией от . Очевидно, что
.
Тогда
.

Поскольку функция является дифференцируемой функцией в точке , то она непрерывна в этой точке. Поэтому
.
Тогда
.

Теперь находим производную.

.

Формула доказана.

Следствие

Если функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле
.
Здесь , и есть некоторые дифференцируемые функции.

Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных .

Пусть функцию , зависящую от переменной x , можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:
,
где
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- функция от двух переменных, дифференцируемая в точке , . Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Здесь
;
.
В силу непрерывности этих функций в точке имеем:
;
.

Поскольку функция дифференцируема в точке , то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:
(3) .
Здесь

- приращение функции при приращении ее аргументов на величины и ;
;

- частные производные функции по переменным и .
При фиксированных значениях и , и есть функции от переменных и . Они стремятся к нулю при и :
;
.
Поскольку и , то
;
.

Приращение функции :

. :
.
Подставим (3):



.

Формула доказана.

Производная сложной функции от нескольких переменных

Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.

Например, если f является функцией от трех переменных , то
,
где
, и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке , , .
Тогда, из определения дифференцируемости функции , имеем:
(4)
.
Поскольку, в силу непрерывности,
; ; ,
то
;
;
.

Разделив (4) на и выполнив предельный переход , получим:
.

И, наконец, рассмотрим самый общий случай .
Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- дифференцируемая функция от n переменных в точке
, , ... , .
Тогда
.

См. также: